Raum und Form · etwa 20 Min

Ähnlichkeit und Strahlensätze

Ähnliche Figuren haben dieselben Winkel und proportionale Seiten. Der Streckfaktor sagt, mit welcher Zahl alle Längen malgenommen werden. Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, verhalten sich entsprechende Strecken gleich.

Merksatz

Stehen die Abschnitte auf dem einen Strahl im Verhältnis 2 : 5, dann auch die entsprechenden Strecken auf dem anderen und zwischen den Parallelen.

Formeln

Strahlensatz

\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{q _{1}}{q _{2}}

$p_{1}, p_{2}$: Abschnitte auf dem ersten Strahl
$q_{1}, q_{2}$: zugehörige Abschnitte auf dem zweiten

Streckfaktor

k = \frac{Bildl a ¨ nge}{Originall a ¨ nge}

Beispiel

Ein Stab von 1,5 m wirft einen Schatten von 2 m. Ein Turm wirft zur selben Zeit einen Schatten von 12 m. Wie hoch ist der Turm?

1,5 / 2 = h / 12.
h = 1,5 / 2 · 12 = 9.

9 m.

Üben

Dezimalzahlen mit Komma, Brüche als 3/4. Die Einheit steht schon daneben, du tippst nur die Zahl.

Aufgabe 1

p₁ = 3, p₂ = 6, q₁ = 4. Wie groß ist q₂?

Aufgabe 2

Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 ist ähnlich zu einem mit 6, 8 und 10. Streckfaktor?

Aufgabe 3

Ein Stab von 1,5 m wirft 2 m Schatten. Ein Turm wirft 12 m Schatten. Höhe des Turms in m?

Aufgabe 4

a / c = 2 / 5 und a = 6. Wie groß ist c?

Aufgabe 5

Streckfaktor 3, Originalstrecke 4 cm. Wie lang ist die Bildstrecke in cm?

Klasse 5

Summe einer Liste

Daten und Diagramme

Summe = alle Anzahlen zusammenz a ¨ hlen

Damit vergleichst du, welche Gruppe größer ist und wie groß der Unterschied ist.

Runden

Natürliche Zahlen

Ziffer rechts \geq 5 \Rightarrow aufrunden

$\geq 5$: die Stelle wird um 1 größer, rechts davon stehen Nullen

Kommutativgesetz

Addieren und Subtrahieren

a + b = b + a

$a, b$: beliebige Zahlen

Gilt für die Addition, nicht für die Subtraktion.

Klammer

Addieren und Subtrahieren

(a - b) + c

Zuerst a − b, danach plus c.

Potenz

Multiplizieren und Dividieren

a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$: Grundzahl
$n$: wie oft a als Faktor vorkommt

Quadrat

Multiplizieren und Dividieren

a^{2} = a \cdot a

Punkt vor Strich

Multiplizieren und Dividieren

a + b \cdot c = a + (b \cdot c)

Rechteck, Umfang

Geometrie der Ebene

U = 2 \cdot (a + b)

$a, b$: Seitenlängen

Rechteck, Flächeninhalt

Geometrie der Ebene

A = a \cdot b

Quadrat

Geometrie der Ebene

U = 4 a, A = a^{2}

Längen

Größen und Sachrechnen

1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 cm = 10 mm

Zeit und Masse

Größen und Sachrechnen

1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 kg = 1000 g

Maßstab

Größen und Sachrechnen

1 : n

$n$: 1 cm in der Zeichnung sind n cm in Wirklichkeit

Klasse 6

Teilbar durch 2

Teilbarkeit

letzte Ziffer gerade

Teilbar durch 5

Teilbarkeit

letzte Ziffer 0 oder 5

Teilbar durch 10

Teilbarkeit

letzte Ziffer 0

Teilbar durch 3 oder 9

Teilbarkeit

Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar

Erweitern

Brüche

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

$k$: natürliche Zahl, nicht 0

Kürzen

Brüche

\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}

Gemischte Zahl

Brüche

g \frac{k}{n} = \frac{g \cdot n + k}{n}

Gleichnamig addieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}

Multiplizieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Dividieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Zehntel und Hundertstel

Dezimalzahlen

\frac{1}{10} = 0, 1, \frac{1}{100} = 0, 01

Vertraute Brüche

Dezimalzahlen

\frac{1}{2} = 0, 5, \frac{1}{4} = 0, 25, \frac{3}{4} = 0, 75

Winkelarten

Flächen und Winkel

spitz < 9 0^{\circ} < stumpf < 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Flächen und Winkel

α + β = 18 0^{\circ}

Rechteck

Flächen und Winkel

U = 2 (a + b), A = a \cdot b

Quader

Quader und Würfel

V = a \cdot b \cdot c, O = 2 (ab + a c + b c)

$a, b, c$: Kantenlängen

Würfel

Quader und Würfel

V = a^{3}, O = 6 a^{2}

Klasse 7

Proportional

Zuordnungen und Dreisatz

y = k \cdot x, k = \frac{y}{x}

$k$: Proportionalitätsfaktor

Antiproportional

Zuordnungen und Dreisatz

x \cdot y = k

Prozentwert

Prozentrechnung

W = G \cdot \frac{p}{100}

$G$: Grundwert, das Ganze
$p$: Prozentsatz
$W$: Prozentwert

Prozentsatz

Prozentrechnung

p = \frac{W}{G} \cdot 100

Grundwert

Prozentrechnung

G = \frac{W}{p} \cdot 100

Summe mit einer negativen Zahl

Rationale Zahlen

a + (- b) = a - b

Vorzeichen mal

Rationale Zahlen

(- a) \cdot (- b) = a \cdot b, (- a) \cdot b = - (a \cdot b)

Gleichartige Terme

Terme und Gleichungen

3 x + 2 x = 5 x

Distributivgesetz

Terme und Gleichungen

a (b + c) = ab + a c

Einfache Gleichung

Terme und Gleichungen

x + a = b \Rightarrow x = b - a

Winkelsumme im Dreieck

Winkel und Dreiecke

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Winkel und Dreiecke

α + β = 18 0^{\circ}

Scheitelwinkel

Winkel und Dreiecke

Scheitelwinkel sind gleich groß

Relative Häufigkeit

Daten und Zufall

h (E) = \frac{H ( E )}{n}

$H (E)$: absolute Häufigkeit
$n$: Anzahl aller Versuche

Laplace

Daten und Zufall

P (E) = \frac{∣ E ∣}{∣Ω∣}

$∣ E ∣$: günstige Ergebnisse
$∣Ω∣$: alle möglichen Ergebnisse

Klasse 8

Erste binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Zweite binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Dritte binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Grundform

Lineare Gleichungen

a x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}

$a$: nicht 0

Lineare Funktion

Lineare Funktionen

f (x) = m x + b

$m$: Steigung
$b$: y-Achsenabschnitt

Steigung durch zwei Punkte

Lineare Funktionen

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Nullstelle

Lineare Funktionen

x = - \frac{b}{m}

Dreieck

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{g \cdot h}{2}

Parallelogramm

Flächeninhalt von Vielecken

A = g \cdot h

Trapez

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{a + c}{2} \cdot h

$a, c$: die beiden parallelen Seiten

Raute über die Diagonalen

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

Volumen

Gerade Prismen

V = G \cdot h

Mantelfläche

Gerade Prismen

M = U_{G} \cdot h

Oberfläche

Gerade Prismen

O = 2 G + M

Jahreszins

Zinsrechnung

Z = K \cdot \frac{p}{100}

$K$: Kapital
$p$: Zinssatz in Prozent

Zinsen für m Monate

Zinsrechnung

Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}

Kapital nach einem Jahr

Zinsrechnung

K_{neu} = K + Z

Klasse 9

Quadratwurzel

Potenzen und Wurzeln

a \cdot a = a (a \geq 0)

Wurzel aus einem Produkt

Potenzen und Wurzeln

a \cdot b = a \cdot b

Potenzgesetz

Potenzen und Wurzeln

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Negativer Exponent

Potenzen und Wurzeln

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Satz des Pythagoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Hypotenuse

Satz des Pythagoras

c = a^{2} + b^{2}

Kathete

Satz des Pythagoras

a = c^{2} - b^{2}

Umfang

Kreis

U = 2 π r = π d

Flächeninhalt

Kreis

A = π r^{2}

Volumen

Zylinder

V = π r^{2} h

Mantelfläche

Zylinder

M = 2 π r h

Oberfläche

Zylinder

O = 2 π r^{2} + 2 π r h

Strahlensatz

Ähnlichkeit und Strahlensätze

\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{q _{1}}{q _{2}}

$p_{1}, p_{2}$: Abschnitte auf dem ersten Strahl
$q_{1}, q_{2}$: zugehörige Abschnitte auf dem zweiten

Streckfaktor

Ähnlichkeit und Strahlensätze

k = \frac{Bildl a ¨ nge}{Originall a ¨ nge}

Einsetzen

Lineare Gleichungssysteme

eine Gleichung nach y aufl o ¨ sen, einsetzen

Addieren

Lineare Gleichungssysteme

Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegf a ¨ llt

Klasse 10

Normalparabel

Quadratische Funktionen

f (x) = x^{2}

Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen

f (x) = a (x - d)^{2} + e

$S (d ∣ e)$: Scheitel
$a$: Streckung und Öffnung

Allgemeine Form

Quadratische Funktionen

f (x) = a x^{2} + b x + c

Reinquadratisch

Quadratische Gleichungen

x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a (a \geq 0)

p-q-Formel

Quadratische Gleichungen

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Für x² + px + q = 0.

Wachstum und Abnahme

Exponentialfunktionen

f (t) = a \cdot q^{t}

$a$: Anfangswert
$q$: Wachstumsfaktor
$t$: Anzahl der Schritte

Faktor bei Zuwachs

Exponentialfunktionen

q = 1 + \frac{p}{100}

Faktor bei Abnahme

Exponentialfunktionen

q = 1 - \frac{p}{100}

Pyramide

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} G h

Kegel

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Kugel, Volumen

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Kugel, Oberfläche

Pyramide, Kegel und Kugel

O = 4 π r^{2}

Kegelmantel

Pyramide, Kegel und Kugel

M = π r s

$s$: Mantellinie, nicht die Höhe

Sinus

Trigonometrie

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

Kosinus

Trigonometrie

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

Tangens

Trigonometrie

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Bekannte Werte

Trigonometrie

sin 3 0^{\circ} = 0, 5, tan 4 5^{\circ} = 1

Produktregel

Baumdiagramme

P (A und B) = P (A) \cdot P (B)

entlang eines Pfades, bei unabhängigen Stufen

Summenregel

Baumdiagramme

P (A oder B) = P (A) + P (B)

für Ergebnisse, die nicht gleichzeitig eintreten

Prozentwert

Gemischt zur Prüfung

W = G \cdot p /100

Pythagoras

Gemischt zur Prüfung

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Steigung

Gemischt zur Prüfung

m = Δ y /Δ x

p-q-Formel

Gemischt zur Prüfung

x = - p /2 \pm (p /2)^{2} - q