Raum und Form · etwa 20 Min

Trigonometrie

Im rechtwinkligen Dreieck hängen die spitzen Winkel mit den Seiten zusammen. Sinus nimmt die Gegenkathete, Kosinus die Ankathete, beide im Verhältnis zur Hypotenuse. Tangens nimmt Gegenkathete zu Ankathete. An vielen Schulen beginnt das schon gegen Ende von Klasse 9.

Merksatz

Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus Ankathete durch Hypotenuse, Tangens Gegenkathete durch Ankathete.

Formeln

Sinus

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

Kosinus

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

Tangens

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Bekannte Werte

sin 3 0^{\circ} = 0, 5, tan 4 5^{\circ} = 1

Beispiel

Eine 10 m lange Rampe steigt mit 30°. sin 30° = 0,5. Welche Höhe erreicht sie?

Die Höhe ist die Gegenkathete zum 30°-Winkel.
sin 30° = Höhe / 10.
Höhe = 10 · 0,5 = 5.

5 m.

Üben

Dezimalzahlen mit Komma, Brüche als 3/4. Die Einheit steht schon daneben, du tippst nur die Zahl.

Aufgabe 1

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete 5 cm und die Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist sin α?

Aufgabe 2

Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. Wie groß ist cos α?

Aufgabe 3

Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm. Wie groß ist tan α?

Aufgabe 4

Wie groß ist sin 30°?

Aufgabe 5

Eine 10 m lange Rampe steigt mit 30°. sin 30° = 0,5. Welche Höhe erreicht sie, in m?

Werkzeuge

Taschenrechner

Ans = 0 · DEG

0

Formelsammlung

Klasse 5

Summe einer Liste

Daten und Diagramme

Summe = alle Anzahlen zusammenz a ¨ hlen

Damit vergleichst du, welche Gruppe größer ist und wie groß der Unterschied ist.

Runden

Natürliche Zahlen

Ziffer rechts \geq 5 \Rightarrow aufrunden

$\geq 5$: die Stelle wird um 1 größer, rechts davon stehen Nullen

Kommutativgesetz

Addieren und Subtrahieren

a + b = b + a

$a, b$: beliebige Zahlen

Gilt für die Addition, nicht für die Subtraktion.

Klammer

Addieren und Subtrahieren

(a - b) + c

Zuerst a − b, danach plus c.

Potenz

Multiplizieren und Dividieren

a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$: Grundzahl
$n$: wie oft a als Faktor vorkommt

Quadrat

Multiplizieren und Dividieren

a^{2} = a \cdot a

Punkt vor Strich

Multiplizieren und Dividieren

a + b \cdot c = a + (b \cdot c)

Rechteck, Umfang

Geometrie der Ebene

U = 2 \cdot (a + b)

$a, b$: Seitenlängen

Rechteck, Flächeninhalt

Geometrie der Ebene

A = a \cdot b

Quadrat

Geometrie der Ebene

U = 4 a, A = a^{2}

Längen

Größen und Sachrechnen

1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 cm = 10 mm

Zeit und Masse

Größen und Sachrechnen

1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 kg = 1000 g

Maßstab

Größen und Sachrechnen

1 : n

$n$: 1 cm in der Zeichnung sind n cm in Wirklichkeit

Klasse 6

Teilbar durch 2

letzte Ziffer gerade

Teilbar durch 5

letzte Ziffer 0 oder 5

Teilbar durch 10

letzte Ziffer 0

Teilbar durch 3 oder 9

Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar

Erweitern

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

$k$: natürliche Zahl, nicht 0

Kürzen

\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}

Gemischte Zahl

g \frac{k}{n} = \frac{g \cdot n + k}{n}

Gleichnamig addieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}

Multiplizieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Dividieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Zehntel und Hundertstel

\frac{1}{10} = 0, 1, \frac{1}{100} = 0, 01

Vertraute Brüche

\frac{1}{2} = 0, 5, \frac{1}{4} = 0, 25, \frac{3}{4} = 0, 75

Winkelarten

Flächen und Winkel

spitz < 9 0^{\circ} < stumpf < 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Flächen und Winkel

α + β = 18 0^{\circ}

Rechteck

Flächen und Winkel

U = 2 (a + b), A = a \cdot b

Quader

Quader und Würfel

V = a \cdot b \cdot c, O = 2 (ab + a c + b c)

$a, b, c$: Kantenlängen

Würfel

Quader und Würfel

V = a^{3}, O = 6 a^{2}

Klasse 7

Proportional

Zuordnungen und Dreisatz

y = k \cdot x, k = \frac{y}{x}

$k$: Proportionalitätsfaktor

Antiproportional

Zuordnungen und Dreisatz

x \cdot y = k

Prozentwert

Prozentrechnung

W = G \cdot \frac{p}{100}

$G$: Grundwert, das Ganze
$p$: Prozentsatz
$W$: Prozentwert

Prozentsatz

Prozentrechnung

p = \frac{W}{G} \cdot 100

Grundwert

Prozentrechnung

G = \frac{W}{p} \cdot 100

Summe mit einer negativen Zahl

Rationale Zahlen

a + (- b) = a - b

Vorzeichen mal

Rationale Zahlen

(- a) \cdot (- b) = a \cdot b, (- a) \cdot b = - (a \cdot b)

Gleichartige Terme

Terme und Gleichungen

3 x + 2 x = 5 x

Distributivgesetz

Terme und Gleichungen

a (b + c) = ab + a c

Einfache Gleichung

Terme und Gleichungen

x + a = b \Rightarrow x = b - a

Winkelsumme im Dreieck

Winkel und Dreiecke

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Winkel und Dreiecke

α + β = 18 0^{\circ}

Scheitelwinkel

Winkel und Dreiecke

Scheitelwinkel sind gleich groß

Relative Häufigkeit

Daten und Zufall

h (E) = \frac{H ( E )}{n}

$H (E)$: absolute Häufigkeit
$n$: Anzahl aller Versuche

Laplace

Daten und Zufall

P (E) = \frac{∣ E ∣}{∣Ω∣}

$∣ E ∣$: günstige Ergebnisse
$∣Ω∣$: alle möglichen Ergebnisse

Klasse 8

Erste binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Zweite binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Dritte binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Grundform

Lineare Gleichungen

a x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}

$a$: nicht 0

Lineare Funktion

Lineare Funktionen

f (x) = m x + b

$m$: Steigung
$b$: y-Achsenabschnitt

Steigung durch zwei Punkte

Lineare Funktionen

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Nullstelle

Lineare Funktionen

x = - \frac{b}{m}

Dreieck

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{g \cdot h}{2}

Parallelogramm

Flächeninhalt von Vielecken

A = g \cdot h

Trapez

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{a + c}{2} \cdot h

$a, c$: die beiden parallelen Seiten

Raute über die Diagonalen

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

Volumen

V = G \cdot h

Mantelfläche

M = U_{G} \cdot h

Oberfläche

O = 2 G + M

Jahreszins

Z = K \cdot \frac{p}{100}

$K$: Kapital
$p$: Zinssatz in Prozent

Zinsen für m Monate

Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}

Kapital nach einem Jahr

K_{neu} = K + Z

Klasse 9

Quadratwurzel

Potenzen und Wurzeln

a \cdot a = a (a \geq 0)

Wurzel aus einem Produkt

Potenzen und Wurzeln

a \cdot b = a \cdot b

Potenzgesetz

Potenzen und Wurzeln

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Negativer Exponent

Potenzen und Wurzeln

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Hypotenuse

Satz des Pythagoras

c = a^{2} + b^{2}

Kathete

Satz des Pythagoras

a = c^{2} - b^{2}

Umfang

U = 2 π r = π d

Flächeninhalt

A = π r^{2}

Volumen

V = π r^{2} h

Mantelfläche

M = 2 π r h

Oberfläche

O = 2 π r^{2} + 2 π r h

Strahlensatz

Ähnlichkeit und Strahlensätze

\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{q _{1}}{q _{2}}

$p_{1}, p_{2}$: Abschnitte auf dem ersten Strahl
$q_{1}, q_{2}$: zugehörige Abschnitte auf dem zweiten

Streckfaktor

Ähnlichkeit und Strahlensätze

k = \frac{Bildl a ¨ nge}{Originall a ¨ nge}

Einsetzen

Lineare Gleichungssysteme

eine Gleichung nach y aufl o ¨ sen, einsetzen

Addieren

Lineare Gleichungssysteme

Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegf a ¨ llt

Klasse 10

Normalparabel

Quadratische Funktionen

f (x) = x^{2}

Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen

f (x) = a (x - d)^{2} + e

$S (d ∣ e)$: Scheitel
$a$: Streckung und Öffnung

Allgemeine Form

Quadratische Funktionen

f (x) = a x^{2} + b x + c

Reinquadratisch

Quadratische Gleichungen

x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a (a \geq 0)

p-q-Formel

Quadratische Gleichungen

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Für x² + px + q = 0.

Wachstum und Abnahme

Exponentialfunktionen

f (t) = a \cdot q^{t}

$a$: Anfangswert
$q$: Wachstumsfaktor
$t$: Anzahl der Schritte

Faktor bei Zuwachs

Exponentialfunktionen

q = 1 + \frac{p}{100}

Faktor bei Abnahme

Exponentialfunktionen

q = 1 - \frac{p}{100}

Pyramide

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} G h

Kegel

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Kugel, Volumen

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Kugel, Oberfläche

Pyramide, Kegel und Kugel

O = 4 π r^{2}

Kegelmantel

Pyramide, Kegel und Kugel

M = π r s

$s$: Mantellinie, nicht die Höhe

Sinus

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

Kosinus

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

Tangens

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Bekannte Werte

sin 3 0^{\circ} = 0, 5, tan 4 5^{\circ} = 1

Produktregel

P (A und B) = P (A) \cdot P (B)

entlang eines Pfades, bei unabhängigen Stufen

Summenregel

P (A oder B) = P (A) + P (B)

für Ergebnisse, die nicht gleichzeitig eintreten

Prozentwert

Gemischt zur Prüfung

W = G \cdot p /100

Pythagoras

Gemischt zur Prüfung

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Steigung

Gemischt zur Prüfung

m = Δ y /Δ x

p-q-Formel

Gemischt zur Prüfung

x = - p /2 \pm (p /2)^{2} - q