Klasse 9

Zusammenhänge

Wurzeln, Pythagoras, Kreis, Zylinder, Strahlensätze, Gleichungssysteme.

Sechs Aufgaben mischen

Zahl – Variable – Operation

Potenzen und Wurzeln

Die Quadratwurzel aus a ist die Zahl ab 0, deren Quadrat a ist. Potenzen mit derselben Basis multiplizierst du, indem du die Exponenten addierst. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert.

Lineare Gleichungssysteme

Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen. Du kannst einsetzen, gleichsetzen oder addieren, nachdem du eine Variable zum Wegheben vorbereitet hast. Die Lösung ist ein Zahlenpaar.

Messen

Kreis

π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, etwa 3,14. Der Radius ist der halbe Durchmesser. In den Aufgaben dieser Seite rechnest du mit π = 3,14.

Raum und Form

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck liegen die beiden Katheten am rechten Winkel, die Hypotenuse gegenüber. Die Summe der Kathetenquadrate ist das Hypotenusenquadrat. Gilt a² + b² = c² für ein Dreieck, ist es rechtwinklig.

Zylinder

Ein gerader Kreiszylinder ist ein Prisma mit kreisförmiger Grundfläche. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe. Die Mantelfläche ist ein Rechteck: Umfang des Kreises mal Höhe.

Ähnlichkeit und Strahlensätze

Ähnliche Figuren haben dieselben Winkel und proportionale Seiten. Der Streckfaktor sagt, mit welcher Zahl alle Längen malgenommen werden. Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, verhalten sich entsprechende Strecken gleich.

Werkzeuge

Taschenrechner

Ans = 0 · DEG

0

Formelsammlung

Klasse 5

Summe einer Liste

Daten und Diagramme

Summe = alle Anzahlen zusammenz a ¨ hlen

Damit vergleichst du, welche Gruppe größer ist und wie groß der Unterschied ist.

Runden

Natürliche Zahlen

Ziffer rechts \geq 5 \Rightarrow aufrunden

$\geq 5$: die Stelle wird um 1 größer, rechts davon stehen Nullen

Kommutativgesetz

Addieren und Subtrahieren

a + b = b + a

$a, b$: beliebige Zahlen

Gilt für die Addition, nicht für die Subtraktion.

Klammer

Addieren und Subtrahieren

(a - b) + c

Zuerst a − b, danach plus c.

Potenz

Multiplizieren und Dividieren

a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$: Grundzahl
$n$: wie oft a als Faktor vorkommt

Quadrat

Multiplizieren und Dividieren

a^{2} = a \cdot a

Punkt vor Strich

Multiplizieren und Dividieren

a + b \cdot c = a + (b \cdot c)

Rechteck, Umfang

Geometrie der Ebene

U = 2 \cdot (a + b)

$a, b$: Seitenlängen

Rechteck, Flächeninhalt

Geometrie der Ebene

A = a \cdot b

Quadrat

Geometrie der Ebene

U = 4 a, A = a^{2}

Längen

Größen und Sachrechnen

1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 cm = 10 mm

Zeit und Masse

Größen und Sachrechnen

1 h = 60 min, 1 min = 60 s, 1 kg = 1000 g

Maßstab

Größen und Sachrechnen

1 : n

$n$: 1 cm in der Zeichnung sind n cm in Wirklichkeit

Klasse 6

Teilbar durch 2

letzte Ziffer gerade

Teilbar durch 5

letzte Ziffer 0 oder 5

Teilbar durch 10

letzte Ziffer 0

Teilbar durch 3 oder 9

Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar

Erweitern

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

$k$: natürliche Zahl, nicht 0

Kürzen

\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}

Gemischte Zahl

g \frac{k}{n} = \frac{g \cdot n + k}{n}

Gleichnamig addieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}

Multiplizieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Dividieren

Rechnen mit Brüchen

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Zehntel und Hundertstel

\frac{1}{10} = 0, 1, \frac{1}{100} = 0, 01

Vertraute Brüche

\frac{1}{2} = 0, 5, \frac{1}{4} = 0, 25, \frac{3}{4} = 0, 75

Winkelarten

Flächen und Winkel

spitz < 9 0^{\circ} < stumpf < 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Flächen und Winkel

α + β = 18 0^{\circ}

Rechteck

Flächen und Winkel

U = 2 (a + b), A = a \cdot b

Quader

Quader und Würfel

V = a \cdot b \cdot c, O = 2 (ab + a c + b c)

$a, b, c$: Kantenlängen

Würfel

Quader und Würfel

V = a^{3}, O = 6 a^{2}

Klasse 7

Proportional

Zuordnungen und Dreisatz

y = k \cdot x, k = \frac{y}{x}

$k$: Proportionalitätsfaktor

Antiproportional

Zuordnungen und Dreisatz

x \cdot y = k

Prozentwert

Prozentrechnung

W = G \cdot \frac{p}{100}

$G$: Grundwert, das Ganze
$p$: Prozentsatz
$W$: Prozentwert

Prozentsatz

Prozentrechnung

p = \frac{W}{G} \cdot 100

Grundwert

Prozentrechnung

G = \frac{W}{p} \cdot 100

Summe mit einer negativen Zahl

Rationale Zahlen

a + (- b) = a - b

Vorzeichen mal

Rationale Zahlen

(- a) \cdot (- b) = a \cdot b, (- a) \cdot b = - (a \cdot b)

Gleichartige Terme

Terme und Gleichungen

3 x + 2 x = 5 x

Distributivgesetz

Terme und Gleichungen

a (b + c) = ab + a c

Einfache Gleichung

Terme und Gleichungen

x + a = b \Rightarrow x = b - a

Winkelsumme im Dreieck

Winkel und Dreiecke

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Nebenwinkel

Winkel und Dreiecke

α + β = 18 0^{\circ}

Scheitelwinkel

Winkel und Dreiecke

Scheitelwinkel sind gleich groß

Relative Häufigkeit

Daten und Zufall

h (E) = \frac{H ( E )}{n}

$H (E)$: absolute Häufigkeit
$n$: Anzahl aller Versuche

Laplace

Daten und Zufall

P (E) = \frac{∣ E ∣}{∣Ω∣}

$∣ E ∣$: günstige Ergebnisse
$∣Ω∣$: alle möglichen Ergebnisse

Klasse 8

Erste binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Zweite binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Dritte binomische Formel

Terme und binomische Formeln

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Grundform

Lineare Gleichungen

a x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}

$a$: nicht 0

Lineare Funktion

Lineare Funktionen

f (x) = m x + b

$m$: Steigung
$b$: y-Achsenabschnitt

Steigung durch zwei Punkte

Lineare Funktionen

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Nullstelle

Lineare Funktionen

x = - \frac{b}{m}

Dreieck

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{g \cdot h}{2}

Parallelogramm

Flächeninhalt von Vielecken

A = g \cdot h

Trapez

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{a + c}{2} \cdot h

$a, c$: die beiden parallelen Seiten

Raute über die Diagonalen

Flächeninhalt von Vielecken

A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

Volumen

V = G \cdot h

Mantelfläche

M = U_{G} \cdot h

Oberfläche

O = 2 G + M

Jahreszins

Z = K \cdot \frac{p}{100}

$K$: Kapital
$p$: Zinssatz in Prozent

Zinsen für m Monate

Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}

Kapital nach einem Jahr

K_{neu} = K + Z

Klasse 9

Quadratwurzel

Potenzen und Wurzeln

a \cdot a = a (a \geq 0)

Wurzel aus einem Produkt

Potenzen und Wurzeln

a \cdot b = a \cdot b

Potenzgesetz

Potenzen und Wurzeln

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Negativer Exponent

Potenzen und Wurzeln

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Hypotenuse

Satz des Pythagoras

c = a^{2} + b^{2}

Kathete

Satz des Pythagoras

a = c^{2} - b^{2}

Umfang

U = 2 π r = π d

Flächeninhalt

A = π r^{2}

Volumen

V = π r^{2} h

Mantelfläche

M = 2 π r h

Oberfläche

O = 2 π r^{2} + 2 π r h

Strahlensatz

Ähnlichkeit und Strahlensätze

\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{q _{1}}{q _{2}}

$p_{1}, p_{2}$: Abschnitte auf dem ersten Strahl
$q_{1}, q_{2}$: zugehörige Abschnitte auf dem zweiten

Streckfaktor

Ähnlichkeit und Strahlensätze

k = \frac{Bildl a ¨ nge}{Originall a ¨ nge}

Einsetzen

Lineare Gleichungssysteme

eine Gleichung nach y aufl o ¨ sen, einsetzen

Addieren

Lineare Gleichungssysteme

Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegf a ¨ llt

Klasse 10

Normalparabel

Quadratische Funktionen

f (x) = x^{2}

Scheitelpunktform

Quadratische Funktionen

f (x) = a (x - d)^{2} + e

$S (d ∣ e)$: Scheitel
$a$: Streckung und Öffnung

Allgemeine Form

Quadratische Funktionen

f (x) = a x^{2} + b x + c

Reinquadratisch

Quadratische Gleichungen

x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a (a \geq 0)

p-q-Formel

Quadratische Gleichungen

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Für x² + px + q = 0.

Wachstum und Abnahme

Exponentialfunktionen

f (t) = a \cdot q^{t}

$a$: Anfangswert
$q$: Wachstumsfaktor
$t$: Anzahl der Schritte

Faktor bei Zuwachs

Exponentialfunktionen

q = 1 + \frac{p}{100}

Faktor bei Abnahme

Exponentialfunktionen

q = 1 - \frac{p}{100}

Pyramide

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} G h

Kegel

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Kugel, Volumen

Pyramide, Kegel und Kugel

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Kugel, Oberfläche

Pyramide, Kegel und Kugel

O = 4 π r^{2}

Kegelmantel

Pyramide, Kegel und Kugel

M = π r s

$s$: Mantellinie, nicht die Höhe

Sinus

sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

Kosinus

cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

Tangens

tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Bekannte Werte

sin 3 0^{\circ} = 0, 5, tan 4 5^{\circ} = 1

Produktregel

P (A und B) = P (A) \cdot P (B)

entlang eines Pfades, bei unabhängigen Stufen

Summenregel

P (A oder B) = P (A) + P (B)

für Ergebnisse, die nicht gleichzeitig eintreten

Prozentwert

Gemischt zur Prüfung

W = G \cdot p /100

Pythagoras

Gemischt zur Prüfung

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Steigung

Gemischt zur Prüfung

m = Δ y /Δ x

p-q-Formel

Gemischt zur Prüfung

x = - p /2 \pm (p /2)^{2} - q